Software educativo

La educación, ha ido evolucionando con el paso del tiempo, desde el pizarrón negro o verde acompañado del gis o tiza, el pintarrón o pizarrón blanco con marcadores a base de agua, posteriormente las televisiones, y después de esto la aparición de la computadora, que vino a revolucionar el método de enseñanza aprendizaje de una forma sin precedentes ya que brindo herramientas, que hasta podríamos decir, no tienen límite de alcance. 

De hecho, una de las áreas fuertes de las tecnologías es el software educativo, el cual vino a mostrar y ofrecer una gama de oportunidades para ser aprovechados en todos los niveles educativos. Este tipo de software está diseñado a apoyar el aprendizaje asistido o autodidacta por parte de los alumnos, son elaborados para uso didáctico, utilizan la computadora como soporte para que los alumnos estudien y realicen las actividades propuestas, responden de inmediato a los estudiantes creando una comunicación real de retroalimentación para el alumno, son de fácil uso, no exigen un amplio conocimiento de la tecnología informática para obtener provecho total del software.

Observa el siguiente video, donde se muestra una aplicación práctica de un software educativo.

Características de ecuaciones cuadráticas

Analizaremos las características de una parábola utilizando imágenes,  observemos que éstas están bien definidas dependiendo de los valores de la ecuación que la generan. Estas características o elementos son:

Orientación o concavidad . La parábola puede abrirse hacia arriba, hacia abajo, puede estar más o menos abierta.

Puntos de corte con el eje de abscisas. La parábola puede o no cortar el eje de las abscisas, el eje de las x. Los puntos donde corta la parábola al eje x, si son dos, representa las dos soluciones posibles.

Punto de corte con el eje de ordenadas. El eje de las y, la parábola lo corta dependiendo el valor del valor del término independiente.

Vértice y eje de simetría. Por el punto vértice pasa el eje de simetría de una parábola.

Identifica la función cuadrática como una parábola

Sabemos que el método gráfico tiene como objetivo a través de la lectura de una gráfica que arroja la ecuación o sistema de ecuaciones con que se esté trabajando, encontrar la solución a determinada situación. Sabemos que una gráfica se construye a través de la unión de puntos, llamados coordenadas o pares ordenados (x, y), los valores para cada variable resultan de la resolución de las ecuaciones.

Si pudiésemos representar en una gráfica «todos» los puntos  de una función cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola. Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática. 

Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan. Estas características o elementos son:

• Orientación o concavidad
• Puntos de corte con el eje de abscisas
• Punto de corte con el eje de ordenadas
• Eje de simetría.
• Vértice.

Clasificación de ecuaciones cuadráticas

Estas ecuaciones se clasifican de dos formas, en completas e incompletas. Una ecuación está completa cuando tiene el término de segundo grado, el término lineal y el térrmino independiente, es decir, presenta todos los términos:
ax² + bx + c = 0. La ecuación es incompleta cuando carece del término lineal: ax² + c = 0; o del término independiente: ax² + bx = 0.Sin embargo debemos recordar que el término cuadrático ax², siempre debe estar presente.

Observa ejemplos de lo anterior:

Ecuación completa, ax² + bx + c = 0.

5x² + 12x – 7 = 0

Donde a=5, b=12 y c=7

Ecuación incompleta: ax² + c = 0.

3x² + 26 = 0

Donde a=3, b=0 y c=26

Ecuación incompleta: ax² + bx = 0

6x² + 6x = 0

Donde a=6, b=6 y c=0

Ecuación incompleta: ax²

7x²

Donde a=7, b=0 y c=0

Ecuaciones cuadráticas

¿Qué es una ecuación cuadrática? Recordarás que a lo largo del curso se ha trabajado con ecuaciones lineales, ecuaciones de primer grado, en todas ellas el exponente de los términos no es mayor a uno, aquí está la deferencia entre éstos tipos de ecuaciones. Las ecuaciones cuadráticas son de grado dos, éstas ecuaciones presentan un término con un exponente dos, es decir, que la mayor potencia de la incógnita considerada en la ecuación, es dos. Y al graficarlas no se obtiene una recta como la de las ecuaciones lineales, sino una curva.

La forma general de una ecuación de segundo grado es:

Donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático, distinto de 0, b el coeficiente lineal y c es el término independiente.

Planos tridimensionales

Las ecuaciones con tres incógnitas no son posibles de  graficar en un plano cartesiano con coordenadas (x, y):

Ya que, dónde pondríamos las coordenadas z, recordando que un sistema tres por tres maneja tres incógnitas: x, y, z. Para casos como este se trabaja con un plano tridimensional.

En geometría y análisis matemático, un objeto o ente es tridimensional si tiene tres dimensiones. Es decir cada uno de sus puntos puede ser localizado especificando tres números dentro de un cierto rango. Por ejemplo, anchura, longitud y profundidad.

Observa el siguiente plano extraído de la página Disfrutalasmatemáticas.com, donde se grafica en un plano tridimensional un punto.

Sistema de ecuaciones 3 x 3.

Un sistema de ecuaciones son varias ecuaciones lineales que se resuelven simultáneamente, en este caso, se trabaja con tres ecuaciones, con tres incógnitas, todas las ecuaciones son lineales, y su resolución es conjunta.

Veamos una situación real que comprende un sistema de ecuaciones de  este tipo: La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º. Los ángulos mayor y menor suman 115º. El ángulo mayor y el ángulo intermedio suman 150º. Determinemos la medida de los ángulos de dicho triángulo.

Consideraremos:

• x= es el ángulo mayor
• y= el ángulo intermedio
• z= el ángulo menor

De acuerdo al problema diríamos:

x + y + z = 180º Es la primer ecuación

En la suma de los tres ángulos:

x + z = 115º Es la segunda ecuación

En la suma del ángulo mayor y el menor:

x + y = 150º  Es la tercer ecuación

Con las tres ecuaciones formamos nuestro sistema de ecuaciones tres por tres.

Sistemas de ecuaciones 2 x 2. Método gráfico.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:

• Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
• Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.
• Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
• En este último paso hay tres posibilidades: que las rectas se corten indicando el punto que da las coordenadas de los valores que satisfacen ambas ecuaciones; que las rectas obtenidas sean paralelas y nos indiquen la ausencia de un punto en común, sin solución; o que las rectas sean coincidentes, una sola, lo que indicaría que el sistema tiene infinitas soluciones.

Sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones son varias ecuaciones lineales que se resuelven simultáneamente. Te explico con un ejemplo: El valor de una pluma más el valor de un borrador son de $9. El valor de una pluma menos el valor de un borrador, son $3. ¿Cuál es el precio de un borrador y de una pluma?

Este problema como lo ves incluye dos ecuaciones, que se plantean por separado, pero se resolverán de manera simultánea, observa las ecuaciones que formaré para cada situación.

P + B = 9

P – B = 3

Donde la literal  P nos representa pluma y la literal B nos representa borrador. Este es un ejemplo de sistemas de ecuaciones lineales, específicamente llamadas dos por dos, ya que contienen dos incógnitas, es decir dos valores desconocidos, se componen de dos ecuaciones relacionadas y lineales, es decir son de grado uno.

En este caso los valores que dan solución a ambas ecuaciones es P= 6 y B= 3, observa:

P + B = 9 Ecuación 1

6 + 3 = 9

P – B = 3 Ecuación 2

6 – 3 = 3

Observa que en ambas ecuaciones el valor para la pluma y el borrador es el mismo, y esos valores hacen verdaderas ambas igualdades.

Ecuaciones

El grado de una ecuación lo determina el mayor de los exponentes de la incógnita. Las ecuaciones se pueden clasificar de acuerdo con su grado como:

• 3x +9 = 16 ecuación lineal o de primer grado.
• 3x² -2x +1 = 0 ecuación cuadrática o de segundo grado.
• x³ +x² +x = 23 ecuación cúbica o de tercer grado.

Si se te pidiera que buscaras los valores para completar la siguiente igualdad x + 7 = 10, sabrás que te encuentras frente a una ecuación, en esta la incógnita a descubrir es el número x que sumado a 7 de 10. La solución que hace válida la ecuación es x=3. Aplicando la propiedad de sustitución de la igualdad podemos comprobar que la solución es cierta.

(3) + 7 = 10

10 = 10

Resolver una ecuación quiere decir despejar la incógnita dejando la literal con coeficiente uno en el primer miembro y los valores constantes en el segundo. Observa con este ejemplo: x + 8 = 12.

Para comenzar debemos cambiar de lugar el valor numérico que no contienen a la x del primer al segundo miembro. Paras ello sumaremos en ambos miembros el opuesto al número definido en la ecuación, que es -8.

x + 8  – 8 = 12 – 8

Observa cómo se eliminan el 8 y el -8 en el primer miembro de la igualdad. Se dice que el +8 está “sumando” y pasa “restando” al otro lado de la igualdad.